Algèbre MP-MP* 2èm année / cours et exercices corrigés : Christophe Antonini

Algèbre MP-MP* 2èm année / cours et exercices corrigés

Auteur : Christophe Antonini

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Cet ouvrage développe le programme d'algèbre de deuxième année des classes préparatoires scientifiques, de façon originale, approfondie et fidèle. Le texte, rigoureux et pédagogique, permet à tous les étudiants de suivre pas à pas les démonstrations. Des figures, ainsi que des algorithmes implémentés en Python, facilitent la compréhension et l'assimilation des notions abordées. Des exercices, dont les corrigés sont très détaillés, permettent de vérifier l'acquisition des points clés de chaque chapitre.
L'auteur a pris soin de replacer les résultats présentés dans leur contexte historique, des notices biographiques évoquent les faits marquants de la vie des mathématiciens cités. Dans les parties " compléments ", l'ouvrage aborde des théorèmes plus difficiles ou moins connus, destinés aux lecteurs souhaitant un approfondissement des sujets classiques. L'ouvrage intéressera également les candidats au CAPES et à l'agrégation.

Table des matières

1 Structures algébriques usuelles 7 
  1.1 Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 
    1.1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 
    1.1.2 Sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
    1.1.3 Morphismes de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
    1.1.4 Sous-groupes engendrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
    1.1.5 Le groupe Z/nZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 
    1.1.6 Ordre d’un groupe, ordre d’un élément . . . . . . . . . . . . . . . . 34 
    1.1.7 Le groupe symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 
  1.2 Anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 
    1.2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
    1.2.2 Idéaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 
    1.2.3 Anneaux principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
    1.2.4 L’anneau Z/nZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 
    1.2.5 L’anneau K[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 
  1.3 Corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 
  1.4 Algèbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 
    1.4.1 Polynômes dans une algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 
    1.4.2 Idéal annulateur et polynôme minimal . . . . . . . . . . . . . . . . 77
  1.5 Exercices corrigés du chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 
2 Compléments d’algèbre linéaire 93 
  2.1 Sur les bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 
    2.1.1 Rappels et compléments sur les combinaisons linéaires . . . . . . . 93
    2.1.2 Familles libres, familles génératrices et bases . . . . . . . . . . . . 96 
    2.1.3 Le cas des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 
    2.1.4 Lien avec les applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 
  2.2 Sommes, sommes directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 
  2.3 Trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 
  2.4 Déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 
     2.4.1 Formes multilinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 
     2.4.2 Premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 
     2.4.3 Définition et formule du déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 
     2.4.4 Propriétés « calculatoires » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 
     2.4.5 Cas particuliers et exemples classiques . . . . . . . . . . . . . . . . 139 
     2.4.6 Méthode algorithmique de calcul du déterminant . . . . . . . . . . 144 
  2.5 Interpolation de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 
  2.6 Orientation des espaces réels de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . 154 
  2.7 Polynômes de matrices carrées et d’endomorphismes . . . . . . . . . . . . 156 
     2.7.1 Définitions et propriétés algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 
     2.7.2 Puissances et polynômes des matrices diagonales . . . . . . . . . . 164 
     2.7.3 Idéal des polynômes annulateurs et polynôme minimal . . . . . . . 165 
     2.7.4 Lemme des noyaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 
  2.8 Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 
    2.8.1 Matrices à diagonale strictement dominante . . . . . . . . . . . . . 172 
    2.8.2 Dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 
  2.9 Exercices corrigés du chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 
3 Réduction 213 
  3.1 Stabilité, endomorphismes induits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 
    3.1.1 Définitions et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 
    3.1.2 Signification en terme de stabilité d’une matrice triangulaire . . . 220 
    3.1.3 Cas d’endomorphismes commutant . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 
   3.2 Éléments propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 
     3.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 
     3.2.2 Somme directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 
     3.2.3 Quelques liens avec la stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 
     3.2.4 Cas de la dimension finie : le polynôme caractéristique . . . . . . . 234 
   3.3 Matrices et endomorphismes diagonalisables . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 
     3.3.1 Définition et premiers résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 
     3.3.2 Diagonalisation et ordre des valeurs propres . . . . . . . . . . . . . 246 
     3.3.3 Diagonalisation et polynômes annulateurs . . . . . . . . . . . . . . 253 
     3.3.4 Diagonalisation simultanée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 
   3.4 Trigonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 
   3.5 Théorème de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 
   3.6 Exponentielle de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 
   3.7 Applications de la réduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 
      3.7.1 Systèmes différentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 
      3.7.2 Équations différentielles scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 
      3.7.3 Équations différentielles scalaires d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . 290 
      3.7.4 Méthode de variation des constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 
      3.7.5 Calculs de polynômes d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 
   3.8 Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 
      3.8.1 Localisation des valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 
      3.8.2 Sous-espaces caractéristiques et décomposition de Dunford . . . . 306 
      3.8.3 Réduction de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 
   3.9 Exercices corrigés du chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 
4 Espaces préhilbertiens 339 
   4.1 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 
     4.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 
     4.1.2 Exemples classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 
   4.2 Norme euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 
     4.2.1 Inégalité de Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 
     4.2.2 Inégalité de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 
     4.2.3 Convexité stricte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 
    4.3 Calculs de produits scalaires et de normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 
     4.3.1 Développements et polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 
     4.3.2 Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370 
    4.4 Bases orthonormées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 
     4.4.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 
     4.4.2 Projections orthogonales et inégalité de Bessel . . . . . . . . . . . 382 

     4.4.3 Orthonormalisation de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . 389 
    4.5 Sous-espaces orthogonaux, sommes directes orthogonales . . . . . . . . . . 396 
    4.6 Représentation des formes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397 
    4.7 Endomorphismes orthogonaux, matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . 399 
       4.7.1 Endomorphismes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399 
       4.7.2 Matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405 
       4.7.3 Vision matricielle des changements de base orthonormée . . . . . . 409 
       4.7.4 Vision matricielle des endomorphismes orthogonaux . . . . . . . . 410 
       4.7.5 Étude de O(2) et de SO(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 
       4.7.6 Isométries vectorielles du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415 
    4.8 Produit mixte, produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424 
       4.8.1 Produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424 
       4.8.2 Produit vectoriel (dimension 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427 
       4.8.3 Isométries vectorielles d’un espace euclidien de dimension 3 . . . . 436 
     4.9 Endomorphismes symétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447 
     4.10 Réduction des endomorphismes et matrices symétriques . . . . . . . . . . 450 
     4.11 Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458 
        4.11.1 Théorème de Riesz-Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458 
        4.11.2 Produit scalaire complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461 
        4.11.3 Endomorphismes hermitiens et matrices hermitiennes . . . . . . . 483 
      4.12 Exercices corrigés du chapitre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485