Les clefs pour l'X Tome 1 et 2

Bernard Randé, 

Franck Taïeb

                     

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Résumé

Les Clefs pour l'X est destiné aux élèves des classes préparatoires scientifiques qui préparent le concours d'entrée à l'Ecole polytechnique, ou des concours d'un niveau voisin (Central, les Mines). Au-delà de l'apprentissage du cours et de l'entraînement sur des exercices d'application, il est important que les futurs candidats se mettent assez tôt dans l'ambiance authentique du concours en travaillant des exercices qui ont été réellement posés à l'X, et de préférence d'un millésime récent.
C'est ce que leur proposent Bernard Randé et Franck Taïeb, tous deux professeurs de mathématiques spéciales MP. Grâce à leur grande expérience, ils fournissent des corrigés qui allient pédagogie et efficacité. En travaillant sur ce choix d'exercices, les élèves acquerront une expertise qui devrait leur permettre d'affronter en confiance l'épreuve de l'oral.

Sommaire:

• 
  
• Tome1
• Algèbre générale, arithmétique
• Algèbre linéaire, réduction des endomorphismes
• Espaces euclidiens, géométrie
• Topologie, fonctions de plusieurs variables
• Analyse élémentaire, suites, séries
• Analyse fonctionnelle, suites et séries de fonctions
• Intégration, équations différentielles
• Tome 2 
• Algèbre générale, arithmétique
• Algèbre linéaire, réduction des endomorphismes
• Matrices symétriques, espaces euclidiens
• Géométrie
• Analyse élémentaire, suites, séries
• Intégration
• Suites et séries de fonctions
• Clacul différentiel et équations différentielles

                           

Maths MP/MP* programme 2014.

 Cours, exercices et travaux dirigés corrigés #MP / #MP* #programme2014

Auteur : #Franchini Jean, Jacquens Jean-Claude

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( le mot de passe est dans le fichier : https://mega4up.com/dkagkx6z0z28 )

Ce manuel de #Mathématiques est écrit à l’intention des étudiants des classes préparatoires de seconde année MP et MP*. Il est conforme au programme en vigueur à partir de septembre 2014. Les auteurs se sont efforcés de respecter tant l'esprit que la lettre du programme qui a été rédigé de façon à la fois directive pour les enseignants et contraignante pour les examinateurs des concours. Certaines démonstrations sont déclarées " hors programme " et d'autres " non exigibles des étudiants ".
Si les premières ne figurent pas toutes dans ces pages, les secondes sont explicitées et pourront n'être abordées qu'en seconde lecture. Les notations sont celles indiquées dans le contrat (le programme) ou celles que la tradition mathématique a consacrées. Chaque chapitre est à considérer comme un triptyque dont la partie centrale serait le cours et les panneaux les exercices et les travaux dirigés.
Les exercices sont tous intégralement corrigés. Les travaux dirigés prolongent le cours et ouvrent des horizons vers la Physique, les Sciences de l'Ingénieur, et les mathématiques enseignées dans les écoles d'Ingénieur. Les auteurs n'ont pas privilégié les exercices " rusés " mais les exercices riches tant par l'utilisation du cours qu'ils nécessitent que par les espaces de liberté qu'ils ouvrent.

Sommaire

• ALGEBRE GENERALE
• REDUCTION DES ENDOMORPHISMES
• ESPACES VECTORIELS NORMES
• SERIES ET FAMILLES SOMMABLES
• SUITES ET SERIES DE FONCTIONS
• FONCTIONS VECTORIELLES
• INTEGRATION SUR UN INTERVALLE
• SERIES ENTIERES
• ESPACES PREHILBERTIENS REELS
• VARIABLES ALEATOIRES DISCRETES

Algèbre MP-MP* 2èm année / cours et exercices corrigés : Christophe Antonini

Algèbre MP-MP* 2èm année / cours et exercices corrigés

Auteur : Christophe Antonini

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Cet ouvrage développe le programme d'algèbre de deuxième année des classes préparatoires scientifiques, de façon originale, approfondie et fidèle. Le texte, rigoureux et pédagogique, permet à tous les étudiants de suivre pas à pas les démonstrations. Des figures, ainsi que des algorithmes implémentés en Python, facilitent la compréhension et l'assimilation des notions abordées. Des exercices, dont les corrigés sont très détaillés, permettent de vérifier l'acquisition des points clés de chaque chapitre.
L'auteur a pris soin de replacer les résultats présentés dans leur contexte historique, des notices biographiques évoquent les faits marquants de la vie des mathématiciens cités. Dans les parties " compléments ", l'ouvrage aborde des théorèmes plus difficiles ou moins connus, destinés aux lecteurs souhaitant un approfondissement des sujets classiques. L'ouvrage intéressera également les candidats au CAPES et à l'agrégation.

Table des matières

1 Structures algébriques usuelles 7 
  1.1 Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 
    1.1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 
    1.1.2 Sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
    1.1.3 Morphismes de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
    1.1.4 Sous-groupes engendrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
    1.1.5 Le groupe Z/nZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 
    1.1.6 Ordre d’un groupe, ordre d’un élément . . . . . . . . . . . . . . . . 34 
    1.1.7 Le groupe symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 
  1.2 Anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 
    1.2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
    1.2.2 Idéaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 
    1.2.3 Anneaux principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
    1.2.4 L’anneau Z/nZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 
    1.2.5 L’anneau K[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 
  1.3 Corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 
  1.4 Algèbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 
    1.4.1 Polynômes dans une algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 
    1.4.2 Idéal annulateur et polynôme minimal . . . . . . . . . . . . . . . . 77
  1.5 Exercices corrigés du chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 
2 Compléments d’algèbre linéaire 93 
  2.1 Sur les bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 
    2.1.1 Rappels et compléments sur les combinaisons linéaires . . . . . . . 93
    2.1.2 Familles libres, familles génératrices et bases . . . . . . . . . . . . 96 
    2.1.3 Le cas des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 
    2.1.4 Lien avec les applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 
  2.2 Sommes, sommes directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 
  2.3 Trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 
  2.4 Déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 
     2.4.1 Formes multilinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 
     2.4.2 Premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 
     2.4.3 Définition et formule du déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 
     2.4.4 Propriétés « calculatoires » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 
     2.4.5 Cas particuliers et exemples classiques . . . . . . . . . . . . . . . . 139 
     2.4.6 Méthode algorithmique de calcul du déterminant . . . . . . . . . . 144 
  2.5 Interpolation de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 
  2.6 Orientation des espaces réels de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . 154 
  2.7 Polynômes de matrices carrées et d’endomorphismes . . . . . . . . . . . . 156 
     2.7.1 Définitions et propriétés algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 
     2.7.2 Puissances et polynômes des matrices diagonales . . . . . . . . . . 164 
     2.7.3 Idéal des polynômes annulateurs et polynôme minimal . . . . . . . 165 
     2.7.4 Lemme des noyaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 
  2.8 Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 
    2.8.1 Matrices à diagonale strictement dominante . . . . . . . . . . . . . 172 
    2.8.2 Dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 
  2.9 Exercices corrigés du chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 
3 Réduction 213 
  3.1 Stabilité, endomorphismes induits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 
    3.1.1 Définitions et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 
    3.1.2 Signification en terme de stabilité d’une matrice triangulaire . . . 220 
    3.1.3 Cas d’endomorphismes commutant . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 
   3.2 Éléments propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 
     3.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 
     3.2.2 Somme directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 
     3.2.3 Quelques liens avec la stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 
     3.2.4 Cas de la dimension finie : le polynôme caractéristique . . . . . . . 234 
   3.3 Matrices et endomorphismes diagonalisables . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 
     3.3.1 Définition et premiers résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 
     3.3.2 Diagonalisation et ordre des valeurs propres . . . . . . . . . . . . . 246 
     3.3.3 Diagonalisation et polynômes annulateurs . . . . . . . . . . . . . . 253 
     3.3.4 Diagonalisation simultanée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 
   3.4 Trigonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 
   3.5 Théorème de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 
   3.6 Exponentielle de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 
   3.7 Applications de la réduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 
      3.7.1 Systèmes différentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 
      3.7.2 Équations différentielles scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 
      3.7.3 Équations différentielles scalaires d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . 290 
      3.7.4 Méthode de variation des constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 
      3.7.5 Calculs de polynômes d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 
   3.8 Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 
      3.8.1 Localisation des valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 
      3.8.2 Sous-espaces caractéristiques et décomposition de Dunford . . . . 306 
      3.8.3 Réduction de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 
   3.9 Exercices corrigés du chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 
4 Espaces préhilbertiens 339 
   4.1 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 
     4.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 
     4.1.2 Exemples classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 
   4.2 Norme euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 
     4.2.1 Inégalité de Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 
     4.2.2 Inégalité de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 
     4.2.3 Convexité stricte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 
    4.3 Calculs de produits scalaires et de normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 
     4.3.1 Développements et polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 
     4.3.2 Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370 
    4.4 Bases orthonormées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 
     4.4.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 
     4.4.2 Projections orthogonales et inégalité de Bessel . . . . . . . . . . . 382 

     4.4.3 Orthonormalisation de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . 389 
    4.5 Sous-espaces orthogonaux, sommes directes orthogonales . . . . . . . . . . 396 
    4.6 Représentation des formes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397 
    4.7 Endomorphismes orthogonaux, matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . 399 
       4.7.1 Endomorphismes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399 
       4.7.2 Matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405 
       4.7.3 Vision matricielle des changements de base orthonormée . . . . . . 409 
       4.7.4 Vision matricielle des endomorphismes orthogonaux . . . . . . . . 410 
       4.7.5 Étude de O(2) et de SO(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 
       4.7.6 Isométries vectorielles du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415 
    4.8 Produit mixte, produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424 
       4.8.1 Produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424 
       4.8.2 Produit vectoriel (dimension 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427 
       4.8.3 Isométries vectorielles d’un espace euclidien de dimension 3 . . . . 436 
     4.9 Endomorphismes symétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447 
     4.10 Réduction des endomorphismes et matrices symétriques . . . . . . . . . . 450 
     4.11 Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458 
        4.11.1 Théorème de Riesz-Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458 
        4.11.2 Produit scalaire complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461 
        4.11.3 Endomorphismes hermitiens et matrices hermitiennes . . . . . . . 483 
      4.12 Exercices corrigés du chapitre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485